ЛЕКЦИЯ 3

 

ТЕМА: ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

1.      Теорема умножения вероятностей.

2.      Теорема сложения вероятностей.

3.      Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.

Теория вероятностей позволяет определять вероятность события по известным вероятностям других событий, связанных с этим событием. В этом случае используют теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Теорема умножения вероятностей.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Определение:

 Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Рассмотрим другой пример:

В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А- вынут 1 белый шар, событие В- вынут 1 черный шар.

Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В.

Теперь изменим условия:  вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается РА(В), т.е. вероятность события В при условии, что А произошло.

Определения:

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях, во второй- о независимых.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:  

 

  Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Решим задачи.

Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что  попадут все три.

Решение:

  Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и  С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.

Решение: Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

 

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: РА(В)=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В , поэтому вероятность его тоже условная РАВ(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

2.      Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию  А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни  один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

 

Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

Решим задачи:

Пример1. Найти вероятность суммы противоположных событий.

Решение: События А и А  несовместны, следовательно Р( А +А ) = Р(А) + Р( А). Сумма двух противоположных событий есть событие достоверное, поэтому Р( А +А )= 1. Тогда Р(А) + Р( А ) =1. Отсюда следует :

Р( А) = 1 - Р(А).

Пример2. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение:

Пусть событие А- вынут синий шар, событие В- красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие- вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т.е. событие А+В. используем теорему о сумме несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). вычислим вероятности событий А и В:

Р(А)=5/10=1/2;   Р(В)=3/10.  Тогда искомая вероятность равна Р(А+В) = 1/2+3/10= 8/10=0,8.

Пример3. В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.

Решение:

Пусть событие- здорово первое растение - А, здорово второе растение - В. Тогда событие- здорово хотя бы одно из них, т. е. А или В-  А+В. События А и В совместны, следовательно применим  теорему о сумме двух совместных событий Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Вероятность того, что растение здорово равна 0,95 и одинакова для обоих растений. Вероятность Р(АВ) вычислим по теореме о произведении двух независимых событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В). получим:

Пример4. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что  попадут какие – либо два стрелка.

Решение: Пусть события А- попал 1-ый стрелок, В – попал 2- ой, С – попал 3- ий. События независимые . Событие  D– попадут только два стрелка выразим через А, В и С: 

 

 Применяя теоремы умножения независимых событий и сложения несовместных событий получим:

   

3.      Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.

 При решении некоторых задач событие, вероятность которого необходимо найти, приходится представлять в виде суммы нескольких событий. Это представление может быть громоздким. В этом случае имеет смысл воспользоваться вычислением вероятности противоположного события. Рассмотрим пример.

Три станка работают независимо. Вероятность поломки каждого из них соответственно равна 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок выйдет из строя.

Пусть событие- поломка 1-го станка -А; поломка 2-го- В, поломка 3-го- С. Тогда событие D - поломка хотя бы одного (одного или двух, или трех) запишется следующим образом:

   

Вычислять вероятность  по полученному представлению неудобно из-за большого количества вычислений. Составим противоположное событие событию D. Итак , D - исправны все три станка. Это событие представим в виде произведения- А В С.

Применим теорему  о произведении независимых событий, тогда:

Вероятность события D будет равна:

Обобщим результаты задачи в виде теоремы:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

 

Контрольные вопросы.

1.      Какие события называются зависимыми и какие - независимыми?

2.      Сформулировать теорему произведения независимых событий.

3.       Дать определение условной вероятности.

4.      Сформулировать теорему произведения зависимых событий.

5.      Изобразить на диаграммах Эйлера-Венна сумму двух совместных и несовместных событий. С помощью этих диаграмм доказать теоремы суммы двух совместных и двух несовместных событий.

6.      В каком случае удобно пользоваться для вычислении вероятности связью между противоположными событиями?