ЛЕКЦИЯ 3

ТЕМА: ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

3. Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.

Теория вероятностей позволяет определять вероятность события по известным вероятностям других событий, связанных с этим событием. В этом случае используют теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Теорема умножения вероятностей.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Определение:

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Рассмотрим другой пример:

В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А- вынут 1 белый шар, событие В- вынут 1 черный шар.

Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В.

Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В), т.е. вероятность события В при условии, что А произошло.

Определения:

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Р_А(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях, во второй- о независимых.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_А(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство Р_А(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Решим задачи.

Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Решение:

Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.

Решение: Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: Р_А(В)=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В , поэтому вероятность его тоже условная Р_АВ(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

2. Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

Решим задачи:

Пример1. Найти вероятность суммы противоположных событий.

Решение: События А и А несовместны, следовательно Р( А +А ) = Р(А) + Р( А). Сумма двух противоположных событий есть событие достоверное, поэтому Р( А +А )= 1. Тогда Р(А) + Р( А ) =1. Отсюда следует :

Р( А) = 1 - Р(А).

Пример2. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение:

Пусть событие А- вынут синий шар, событие В- красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие- вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т.е. событие А+В. используем теорему о сумме несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). вычислим вероятности событий А и В:

Р(А)=5/10=1/2; Р(В)=3/10. Тогда искомая вероятность равна Р(А+В) = 1/2+3/10= 8/10=0,8.

Пример3. В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.

Решение:

Пусть событие- здорово первое растение - А, здорово второе растение - В. Тогда событие- здорово хотя бы одно из них, т. е. А или В- А+В. События А и В совместны, следовательно применим теорему о сумме двух совместных событий Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Вероятность того, что растение здорово равна 0,95 и одинакова для обоих растений. Вероятность Р(АВ) вычислим по теореме о произведении двух независимых событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В). получим:

Пример4. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут какие – либо два стрелка.

Решение: Пусть события А- попал 1-ый стрелок, В – попал 2- ой, С – попал 3- ий. События независимые . Событие D– попадут только два стрелка выразим через А, В и С:

Применяя теоремы умножения независимых событий и сложения несовместных событий получим:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.

При решении некоторых задач событие, вероятность которого необходимо найти, приходится представлять в виде суммы нескольких событий. Это представление может быть громоздким. В этом случае имеет смысл воспользоваться вычислением вероятности противоположного события. Рассмотрим пример.

Три станка работают независимо. Вероятность поломки каждого из них соответственно равна 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок выйдет из строя.

Пусть событие- поломка 1-го станка -А; поломка 2-го- В, поломка 3-го- С. Тогда событие D - поломка хотя бы одного (одного или двух, или трех) запишется следующим образом:

Вычислять вероятность по полученному представлению неудобно из-за большого количества вычислений. Составим противоположное событие событию D. Итак , D - исправны все три станка. Это событие представим в виде произведения- А В С.

Применим теорему о произведении независимых событий, тогда:

Вероятность события D будет равна:

Обобщим результаты задачи в виде теоремы:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…,А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

Контрольные вопросы.

1. Какие события называются зависимыми и какие - независимыми?

2. Сформулировать теорему произведения независимых событий.

3. Дать определение условной вероятности.

4. Сформулировать теорему произведения зависимых событий.

5. Изобразить на диаграммах Эйлера-Венна сумму двух совместных и несовместных событий. С помощью этих диаграмм доказать теоремы суммы двух совместных и двух несовместных событий.

6. В каком случае удобно пользоваться для вычислении вероятности связью между противоположными событиями?