ЛЕКЦИЯ 5

ТЕМА: ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

1.      Формула Бернулли.

2.      Асимптотические формулы.

2.1. Локальная теорема Муавра - Лапласа.

2.2. Интегральная теорема Муавра - Лапласа.

2.3. Формула Пуассона.

1. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Причем вероятность появления некоторого события А в каждом испытании не изменяется. Например, подбрасывают монету 5 раз. В каждом испытании герб может появиться с одной и той же вероятностью 1/2; стрелок стреляет по мишени 10 раз, при каждом выстреле вероятность попадания одна и та же. Такие ситуации носят название схемы повторных испытаний . Итак, опишем модель схемы повторных испытаний: проводятся п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одинаковой вероятностью и является случайным. Интерес представляет вопрос о вероятности появления события А в т из п проведенных испытаниях.

Рассмотрим задачу: проводятся 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится с одинаковой вероятностью р. вычислить вероятность того, что событие А появится в трех из проведенных пяти испытаниях.

Обозначим А_i - появление события А в i-том испытании, тогда А_i -не появление события А в i-том испытании. Рассмотрим все возможные случаи появления события А в двух случаях из пяти:

Найдем вероятность для каждого исхода. Пользуясь теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Заметим, что полученные вероятности будут равны, т.к. произведения отличаются только порядком множителей, тогда, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим выражение для вычисления вероятности события В- событие А появится в двух испытаниях из пяти проводимых:

Обозначим 1-р=q, тогда

Вероятность Р(В) обозначим Р₅(2) , т.е. вероятность появления события А в двух из пяти независимых испытаниях.

Обобщим результаты задачи и запишем формулу, позволяющую вычислить вероятность появления события А в т испытаниях из п проводимых:

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Если необходимо вычислить вероятность появления события А в диапазоне от т₁ до т₂ , то применяется теорема сложения вероятностей для независимых событий.

Проиллюстрируем применение формулы Бернулли.

Пример1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

Решение:

В каждом испытании герб может появиться с одинаковой вероятностью 1/2 и с такой же вероятностью- не появится. Тогда, применяя формулу, получим:

Пример2. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две партии из четырех?

Решение:

Т.к. противники равносильные, то для каждого из них вероятность выигрыша равна1/2. Решим задачу , например, для первого из них. Необходимо вычислить вероятности  Р₂(1)и Р₄(2) . Применим формулы и сравним полученные вероятности:

Сравнивая результаты, можно сделать вывод. Что вероятнее выиграть одну партию из двух. Чем две партии из четырех.

Пример3. В семье пятеро детей. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) не менее двух и не более трех мальчиков.

Решение:

Если вероятность рождения мальчика 0,51, тогда вероятность рождения девочки 0,49. Вычислим вероятность рождения двух мальчиков:

Событие- в семье не более двух мальчиков означает, что мальчиков может быть двое или один, или ни одного. Следовательно, необходимо вычислить вероятности для каждого случая и результаты сложить:

Тогда:

Не менее двух и не более трех мальчиков означает, что мальчиков в семье двое или трое. Тогда получим:

2, Асимптотические формулы

2.1. Локальная теорема Муавра- Лапласа.

Рассмотрим задачу: монету подбрасывают 200 раз. Необходимо вычислить вероятность появления герба в 90 испытаниях. Применим формулу Бернулли:

Видим, что вычислить по данной формуле требуемую вероятность довольно сложно из-за громоздких вычислений. Рассмотрим методы вычислений , дающие возможность с довольно высокой точностью найти вероятность в подобных случаях. Первый из них описан в теореме Муавра- Лапласа. Эта теорема дает приближенную формулу для вычисления вероятности появления события А в схеме повторных испытаний, когда нужно вычислить появление события А ровно т раз из п испытаний.

Теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаниях равна р и отлична от 0 и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р_п(т)того, что в п испытаниях событие А наступит т раз, приближенно равна значению функции 

где

Значение функции f(u)(или j(х)) можно найти в  "Таблице значений функции j(х)". При этом нужно учитывать, что функция четная. При u>4 значение функции принимается равным нулю.

Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того. что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение:

По таблице, учитывая четность функции, найдем

 Тогда искомая вероятность равна

2.2. Интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Вернемся к предыдущей задаче, но изменим вопрос. Пусть требуется вычислить вероятность того, что попаданий по мишени будет не менее 50 и не более 70.

Вычислить вероятность для каждого случая конечно можно. Используя рассмотренный метод, но диапазон довольно велик, поэтому на практике в подобных случаях для расчетов применяют формулу, позволяющую вычислить вероятность для любого диапазона (т₁, т₂). Эту формулу дает интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что событие А появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз. Приближенно равна определенному интегралу

  где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х).

Ф(х)- нечетная функция, значения ее приведены в  "Таблице значений функции Ф(х)". При x>5 принимают Ф(х)=0,5.

Вернемся к задаче и вычислим требуемую вероятность:

На применение интегральной теоремы рассмотрим следующую задачу:

Вероятность наступления события А в каждом из 2100 независимых испытаниях равна 0,7. Найти вероятность того, что событие А появится: а) не менее 1420 раз; б) не более 1430 раз.

Решение:

По условию п=2100, р=0,7, тогда q= 0,3. Рассмотрим первый случай. Имеем диапазон (1470; 2100)

верхний предел интегрирования равен 30 . Найдем значения функции Лапласа: Ф(-2,3809)=-Ф(2,3809)= -0,4913,         Ф(30) = 0,5.

. Тогда искомая вероятность равна Р₂₁₀₀(1420;2100 ) = 0,5+0,4913=0,9913.

Рассмотрим второй случай. Имеем диапазон (0; 1430).

Нижний предел интегрирования равен -70, Ф(-70) = -Ф(70) = - 0,5.

Вычислим верхний предел интегрирования

Ф(-1,9)= - Ф(1,9)= - 0,4713. Тогда искомая вероятность

Р₂₁₀₀(0 ,1430)=- 0,4713+0,5=0,0287.

2.3.Формула Пуассона.

Рассмотрим ситуацию, когда вероятность появления события А в каждом независимом испытании близка к 0(такие события называются редкими явлениями), а количество испытаний велико. В этом случае локальная теорема Муавра - Лапласа дает результат недостаточно близкий к истинному .  тогда применяют другую асимптотическую формулу, которая называется формулой Пуассона. Эту формулу дает следующая теорема:

то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз, приближенно равна ,  

Решим задачу: Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхем. Вероятность ее отказа в течении 1 час работы равна 0,004. Какова вероятность того. что за 1000 часов работы устройства придется а) 5 раз менять микросхему; б) не более двух раз менять микросхему; в) более двух раз менять микросхему?

Решение:

По условию п=1000, р=0,004 и близка к нулю, найдем np =1000·0,004 = 4. Применим формулу Пуассона.

а) Необходимо вычислить вероятность

б) Не более двух раз означает два или один , или ни одного раза. Для каждого случая вычислим вероятность и найдем их сумму.

в) Более двух раз означает от 3 до 1000. Но вычислить каждое значение и затем найти их сумму практически невозможно. Но можно составить противоположное событие и воспользоваться связью между противоположными событиями. Противоположное событие - не более двух раз. Его вероятность мы вычислили в предыдущем пункте и она равна 0,2379, тогда вероятность искомого события 1-0,2379=0,7621.

Контрольные вопросы.

1.      Описать схему повторных испытаний.

2.      Пояснить смысл формулы Бернулли.

3.      В какой ситуации применяется локальная теорема Муавра- Лапласа? Каков алгоритм ее применения?

4.      В какой ситуации применяется интегральная теорема Муавра- Лапласа? Каков алгоритм ее применения?

5.      Какие события называются редкими явлениями? По какой формуле вычисляется вероятность наступления события А в схеме повторных испытаний, если событие А- редкое явление , а количество независимых испытаний велико?